摘要

在外加電場(chǎng)作用下，油中懸浮液滴會(huì)發(fā)生劇烈的極化變形。傳統(tǒng)網(wǎng)格方法在捕捉液滴界面的局部細(xì)節(jié)上存在局限，而無(wú)網(wǎng)格粒子方法則展現(xiàn)出獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。本研究建立了一種光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)（SPH）與有限容積法（FVM）的耦合模型。該模型利用FVM求解節(jié)點(diǎn)電場(chǎng)力并傳遞給SPH粒子，再由SPH方法計(jì)算受力并更新粒子位置，通過(guò)電場(chǎng)與流場(chǎng)的耦合提高了界面捕捉和數(shù)值模擬的精度。數(shù)值結(jié)果與已發(fā)表的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較驗(yàn)證。在此基礎(chǔ)上，研究了矩形波電場(chǎng)下液滴的聚并行為，揭示了液滴聚并過(guò)程中的界面演變及界面張力的變化規(guī)律。研究表明，在矩形波電場(chǎng)下，兩液滴以振蕩形式不斷靠近；界面張力在液滴靠近過(guò)程中起阻礙作用，而在融合過(guò)程中起促進(jìn)作用。

1. 引言

電場(chǎng)引發(fā)的流體運(yùn)動(dòng)，即電流體動(dòng)力學(xué)（EHD），廣泛應(yīng)用于噴墨打印、電噴霧、靜電紡絲和微流控技術(shù)等領(lǐng)域。其中，電場(chǎng)下的液滴-液滴聚并行為是一種典型的物理現(xiàn)象，具有重要的研究意義。油中液滴的聚并過(guò)程包含復(fù)雜的界面融合現(xiàn)象，理論分析困難，因此實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬成為主要的研究手段。

實(shí)驗(yàn)研究方面，Berg等人發(fā)現(xiàn)直流電場(chǎng)下兩液滴的聚并速率與低電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，與高電場(chǎng)強(qiáng)度的平方成正比。龔翔的研究則表明，電場(chǎng)強(qiáng)度越高、液滴粒徑越大，液滴間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度越快，聚并時(shí)間越短。

數(shù)值模擬方面，目前已發(fā)展了多種方法，包括邊界積分法、流體體積法（VOF）、水平集法和相場(chǎng)法等。Roy等人采用邊界積分法揭示了電場(chǎng)作用下兩液滴接觸后反彈的物理機(jī)制：當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度過(guò)高時(shí)，液滴界面的麥克斯韋應(yīng)力拉動(dòng)液滴，促使液橋壓力升高，流體從液橋流向液滴內(nèi)部，導(dǎo)致液滴反彈。Huang等人通過(guò)耦合水平集和流體體積法捕獲液滴界面，研究了直流電場(chǎng)下黏性介質(zhì)中兩液滴的聚并行為，發(fā)現(xiàn)液橋的生長(zhǎng)受界面張力和連續(xù)相黏度的控制。任瑞娟基于相場(chǎng)方法模擬了交流電場(chǎng)下兩液滴的聚并行為，發(fā)現(xiàn)增大電場(chǎng)強(qiáng)度、減小兩液滴夾角、界面張力和連續(xù)相黏度，有利于縮短聚并總時(shí)間。

盡管可選方法眾多，但各有優(yōu)劣。基于網(wǎng)格的方法中，VOF方法通過(guò)求解體積分?jǐn)?shù)輸運(yùn)函數(shù)重建相界面，能精準(zhǔn)捕捉界面細(xì)節(jié)，但難以準(zhǔn)確計(jì)算與相界面曲率相關(guān)的物理量。水平集方法使用連續(xù)函數(shù)描述相界面，能準(zhǔn)確處理連續(xù)性，但在界面重構(gòu)方面存在局限性，可能導(dǎo)致界面模糊。Marker-and-Cell方法（MAC）通過(guò)標(biāo)記點(diǎn)捕獲連續(xù)相界面，但當(dāng)界面變形時(shí)，點(diǎn)分布不均，需耗費(fèi)時(shí)間重新布置。可見(jiàn)，網(wǎng)格法操作復(fù)雜且易出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題。

相比之下，SPH-FVM耦合法可以有效避免上述問(wèn)題。它兼有無(wú)網(wǎng)格法和有限容積法的優(yōu)點(diǎn)：SPH能精準(zhǔn)捕捉液滴界面，F(xiàn)VM則提供更好的界面重建，有助于準(zhǔn)確模擬液滴聚并。該耦合模型在處理自由流體問(wèn)題時(shí)具有良好的適應(yīng)性，計(jì)算精度高，操作也更便捷。然而，SPH作為一種典型的無(wú)網(wǎng)格方法，在施加邊界條件方面存在缺陷。為充分發(fā)揮SPH和網(wǎng)格方法各自的優(yōu)勢(shì)，既能精準(zhǔn)捕獲液滴聚并的界面細(xì)節(jié)，又能保證計(jì)算的穩(wěn)定性和精度，本研究采用SPH和FVM耦合的方法，模擬矩形波電場(chǎng)下液滴-液滴的聚并行為，重點(diǎn)分析其界面演變、流場(chǎng)和界面張力分布規(guī)律。

2. 理論與數(shù)值模型

2.1 控制方程

本研究采用拉格朗日形式的納維-斯托克斯方程作為兩相流的控制方程。表面張力 F^s 根據(jù)連續(xù)表面力（CSF）模型計(jì)算。

控制方程包括連續(xù)性方程和動(dòng)量方程：

其中， c  為人工聲速，為確保密度變化率在1%以內(nèi)，人工聲速至少是流場(chǎng)最大速度的10倍（ c \geqslant 10 u_{\max} ）； \rho_0  為流體的初始密度。

2.2 數(shù)值方法

本研究通過(guò)Matlab自編程實(shí)現(xiàn)了SPH-FVM耦合方法，其計(jì)算流程如下：

1.  計(jì)算域初始化與FV網(wǎng)格生成：首先將整個(gè)計(jì)算域離散為SPH粒子，然后根據(jù)粒子位置生成結(jié)構(gòu)化FV網(wǎng)格。FV網(wǎng)格內(nèi)部節(jié)點(diǎn)與SPH粒子的位置相同。模擬過(guò)程中，SPH粒子位置不斷變化，而FV網(wǎng)格固定不動(dòng)。初始時(shí)刻，流體的物理屬性賦予SPH粒子，F(xiàn)V網(wǎng)格不具有任何物理屬性。

2.  介電常數(shù)傳遞：將SPH粒子的介電常數(shù)傳遞給FV網(wǎng)格。網(wǎng)格節(jié)點(diǎn) \( f_{(i,j)} \) 的介電常數(shù)通過(guò)其支持域內(nèi)的SPH粒子，以Shepard插值方式獲得。由于兩相界面的介電常數(shù)不連續(xù)，此傳遞過(guò)程能使界面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的介電常數(shù)從一相平滑過(guò)渡到另一相，便于后續(xù)計(jì)算。

3.  FVM計(jì)算電場(chǎng)力：利用FVM求解電場(chǎng)控制方程。求解時(shí)需要施加Dirichlet（ \Phi  為常數(shù)）和Neumann（ \nabla \Phi \cdot \hat{n} = 0 ）邊界條件。FVM的邊界條件相比SPH方法更簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確，因此被用于求解電場(chǎng)。離散后的電場(chǎng)控制方程采用雙共軛梯度法迭代求解，獲得電勢(shì)分布。隨后，根據(jù)  E = -\nabla \Phi ，用中心差分法求解電場(chǎng)分布。最后，利用  F^e = -\frac{1}{2} E \cdot E \nabla \varepsilon  求解界面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電場(chǎng)力。

4.  電場(chǎng)力傳遞：將界面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電場(chǎng)力傳遞給SPH粒子。當(dāng)兩相介電常數(shù)相差很大時(shí)，電場(chǎng)力沿界面急劇變化。若直接使用Shepard插值，其平滑作用會(huì)導(dǎo)致電場(chǎng)力梯度變緩，難以保證SPH粒子獲得準(zhǔn)確的電場(chǎng)力分布。為此，本研究提出粒子分裂插值方法。該方法先將粒子i分裂為100個(gè)均勻分布的子粒子，單個(gè)子粒子的體積是原粒子的1/100。然后，根據(jù)子粒子所在網(wǎng)格位置，將該網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電場(chǎng)力賦予子粒子。最后，通過(guò)核函數(shù)插值，將子粒子的電場(chǎng)力加權(quán)平均回原SPH粒子。

5.  SPH更新粒子狀態(tài)：使用SPH方法計(jì)算壓力梯度力、黏性力和界面張力，然后更新粒子的速度和位置信息。粒子i的黏性力  F_i^v  計(jì)算公式為：

為解決邊界附近粒子支持域被截?cái)嗟膯?wèn)題，采用鏡像粒子法。此外，為防止粒子沿流線運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的非均勻分布，引入改進(jìn)的粒子位移修正算法，以確保相界面清晰穩(wěn)定。時(shí)間積分采用修正的預(yù)測(cè)校正積分法，時(shí)間步長(zhǎng)滿足CFL條件。