摘要

在外加電場作用下，油中懸浮液滴會發生劇烈的極化變形。傳統網格方法在捕捉液滴界面的局部細節上存在局限，而無網格粒子方法則展現出獨特優勢。本研究建立了一種光滑粒子流體動力學（SPH）與有限容積法（FVM）的耦合模型。該模型利用FVM求解節點電場力并傳遞給SPH粒子，再由SPH方法計算受力并更新粒子位置，通過電場與流場的耦合提高了界面捕捉和數值模擬的精度。數值結果與已發表的實驗數據進行了比較驗證。在此基礎上，研究了矩形波電場下液滴的聚并行為，揭示了液滴聚并過程中的界面演變及界面張力的變化規律。研究表明，在矩形波電場下，兩液滴以振蕩形式不斷靠近；界面張力在液滴靠近過程中起阻礙作用，而在融合過程中起促進作用。

1. 引言

電場引發的流體運動，即電流體動力學（EHD），廣泛應用于噴墨打印、電噴霧、靜電紡絲和微流控技術等領域。其中，電場下的液滴-液滴聚并行為是一種典型的物理現象，具有重要的研究意義。油中液滴的聚并過程包含復雜的界面融合現象，理論分析困難，因此實驗和數值模擬成為主要的研究手段。

實驗研究方面，Berg等人發現直流電場下兩液滴的聚并速率與低電場強度成正比，與高電場強度的平方成正比。龔翔的研究則表明，電場強度越高、液滴粒徑越大，液滴間的相對運動速度越快，聚并時間越短。

數值模擬方面，目前已發展了多種方法，包括邊界積分法、流體體積法（VOF）、水平集法和相場法等。Roy等人采用邊界積分法揭示了電場作用下兩液滴接觸后反彈的物理機制：當電場強度過高時，液滴界面的麥克斯韋應力拉動液滴，促使液橋壓力升高，流體從液橋流向液滴內部，導致液滴反彈。Huang等人通過耦合水平集和流體體積法捕獲液滴界面，研究了直流電場下黏性介質中兩液滴的聚并行為，發現液橋的生長受界面張力和連續相黏度的控制。任瑞娟基于相場方法模擬了交流電場下兩液滴的聚并行為，發現增大電場強度、減小兩液滴夾角、界面張力和連續相黏度，有利于縮短聚并總時間。

盡管可選方法眾多，但各有優劣?；诰W格的方法中，VOF方法通過求解體積分數輸運函數重建相界面，能精準捕捉界面細節，但難以準確計算與相界面曲率相關的物理量。水平集方法使用連續函數描述相界面，能準確處理連續性，但在界面重構方面存在局限性，可能導致界面模糊。Marker-and-Cell方法（MAC）通過標記點捕獲連續相界面，但當界面變形時，點分布不均，需耗費時間重新布置。可見，網格法操作復雜且易出現數值不穩定問題。

相比之下，SPH-FVM耦合法可以有效避免上述問題。它兼有無網格法和有限容積法的優點：SPH能精準捕捉液滴界面，FVM則提供更好的界面重建，有助于準確模擬液滴聚并。該耦合模型在處理自由流體問題時具有良好的適應性，計算精度高，操作也更便捷。然而，SPH作為一種典型的無網格方法，在施加邊界條件方面存在缺陷。為充分發揮SPH和網格方法各自的優勢，既能精準捕獲液滴聚并的界面細節，又能保證計算的穩定性和精度，本研究采用SPH和FVM耦合的方法，模擬矩形波電場下液滴-液滴的聚并行為，重點分析其界面演變、流場和界面張力分布規律。

2. 理論與數值模型

2.1 控制方程

本研究采用拉格朗日形式的納維-斯托克斯方程作為兩相流的控制方程。表面張力 F^s 根據連續表面力（CSF）模型計算。

控制方程包括連續性方程和動量方程：

其中， c  為人工聲速，為確保密度變化率在1%以內，人工聲速至少是流場最大速度的10倍（ c \geqslant 10 u_{\max} ）； \rho_0  為流體的初始密度。

2.2 數值方法

本研究通過Matlab自編程實現了SPH-FVM耦合方法，其計算流程如下：

1.  計算域初始化與FV網格生成：首先將整個計算域離散為SPH粒子，然后根據粒子位置生成結構化FV網格。FV網格內部節點與SPH粒子的位置相同。模擬過程中，SPH粒子位置不斷變化，而FV網格固定不動。初始時刻，流體的物理屬性賦予SPH粒子，FV網格不具有任何物理屬性。

2.  介電常數傳遞：將SPH粒子的介電常數傳遞給FV網格。網格節點 \( f_{(i,j)} \) 的介電常數通過其支持域內的SPH粒子，以Shepard插值方式獲得。由于兩相界面的介電常數不連續，此傳遞過程能使界面網格節點的介電常數從一相平滑過渡到另一相，便于后續計算。

3.  FVM計算電場力：利用FVM求解電場控制方程。求解時需要施加Dirichlet（ \Phi  為常數）和Neumann（ \nabla \Phi \cdot \hat{n} = 0 ）邊界條件。FVM的邊界條件相比SPH方法更簡單、準確，因此被用于求解電場。離散后的電場控制方程采用雙共軛梯度法迭代求解，獲得電勢分布。隨后，根據  E = -\nabla \Phi ，用中心差分法求解電場分布。最后，利用  F^e = -\frac{1}{2} E \cdot E \nabla \varepsilon  求解界面網格節點的電場力。

4.  電場力傳遞：將界面網格節點的電場力傳遞給SPH粒子。當兩相介電常數相差很大時，電場力沿界面急劇變化。若直接使用Shepard插值，其平滑作用會導致電場力梯度變緩，難以保證SPH粒子獲得準確的電場力分布。為此，本研究提出粒子分裂插值方法。該方法先將粒子i分裂為100個均勻分布的子粒子，單個子粒子的體積是原粒子的1/100。然后，根據子粒子所在網格位置，將該網格節點的電場力賦予子粒子。最后，通過核函數插值，將子粒子的電場力加權平均回原SPH粒子。

5.  SPH更新粒子狀態：使用SPH方法計算壓力梯度力、黏性力和界面張力，然后更新粒子的速度和位置信息。粒子i的黏性力  F_i^v  計算公式為：

為解決邊界附近粒子支持域被截斷的問題，采用鏡像粒子法。此外，為防止粒子沿流線運動導致的非均勻分布，引入改進的粒子位移修正算法，以確保相界面清晰穩定。時間積分采用修正的預測校正積分法，時間步長滿足CFL條件。