二、數學模型

2.1 基本假設

在本文的開斷電流條件下，長弧磨損遠大于起弧過程中的橋磨損和短弧磨損。為了得到熔池內部金屬液滴噴濺速度及方向、溫度分布和熔蝕形貌的演化過程，本文做出以下基本假設：

第一，忽略非平衡態的起弧過程及電子、離子自由程導致的微觀能量傳遞，僅考慮高溫電弧形成后，電弧在觸頭表面宏觀傳熱產生的熔化相變，形成的熔池及燒蝕。

第二，由于熔池尺寸小、流速較低、熔融金屬黏度低，將液態金屬視為牛頓流體，流體流動假定為不可壓縮層流。

第三，由于金屬蒸汽的溫度極高、密度較低，分子間作用力遠小于分子熱運動的動能，在不影響計算結果準確度的前提下提高模型的收斂性，將金屬蒸氣視為理想氣體，并對入射電弧透明。

第四，本文研究的熔蝕過程電弧已穩定燃燒，在保障熔池內部流場準確度的前提下，簡化模型，提高數值準確度和計算效率，因此忽略了電弧形成初期等離子體多次反射的影響。

2.2 控制方程

電弧開斷過程中，產生的高溫等離子體向觸頭傳遞能量，引起觸頭表面溫度升高。在空氣環境下，觸頭表面發生氧化、熔化、汽化和熔體噴濺等多種物理或化學變化過程。電弧作用于觸頭表面的數值模擬基于連續性方程、動量守恒方程、能量守恒方程和水平集方程的一般形式。

連續性方程為：

?·u = 0

動量守恒方程（Navier-Stokes方程）為：

ρ?u/?t + ρ(u·?)u = ?·(-pI + μ(?u + (?u)T)) + ρg + Ku

能量守恒方程為：

ρCp(?T/?t + (u·?T)) = ?·k?T + δ(qin - qout)

水平集方程為：

?φ/?t + u·?φ + γ?·(φ(1-φ)?φ/?φ - ε?φ) = 0

其中，u為流體速度，μ為動力學黏度，ρ為密度，Cp為比熱容，k為熱傳導系數，T為溫度，p為壓強，I為單位矩陣，φ為水平集函數，g為重力加速度的矢量，K為各向同性滲透率，ε表示邊界層厚度，qin和qout分別是熱源和熱損失。

2.3 表面氧化動力學

2.3.1 固相氧化

目前市面上的斷路器大多采用銅基材料或銅合金為基礎，既兼顧了導電性又保證了抗熔焊性和穩定性，其中觸頭材料中銅占比最大。銅暴露在空氣中并在電弧的作用下，表面會發生氧化現象，形成的氧化物主要有氧化銅和氧化亞銅。根據已有研究，銅在低于800°C時的氧化物為氧化亞銅，高于800°C時的氧化物為氧化銅。隨著溫度的升高，氧質量迅速流入受熱區，由于徑向溫度分布不均勻，導致氧化物厚度增加也不均勻。

在電弧的作用下，銅觸頭的氧化反應可以寫成：

4Cu + O2 = 2Cu2O

銅在空氣中的高溫氧化動力學表達式為：

ΔM1 = √(kp·t)

其中，ΔM1為單位面積上氧化層的質量增加量（kg/m2），氧化速率kp可以用阿倫尼烏斯方程描述：

kp = A0·e^(Q/RT)

式中，Q = 1.5×10? J/mol為氧反應的活化能，R = 8.314 J/(mol·K)為氣體常數，氧化速率kp為溫度的函數。

2.3.2 液相氧化

當觸頭溫度升高達到觸頭的熔點后，氧溶解在熔融金屬中。高溫時銅的氧化產物主要是氧化銅，因此空氣中的氧和液態銅之間的化學反應可表示為：

2Cu + O2 = 2CuO(l)

其中(l)表示液態。由于觸頭的熔蝕時間遠遠大于溶解達到平衡狀態的時間，所以氧氣的溶解一直處于平衡狀態。在接近平衡狀態下，熔融液中的氧濃度等于氧的溶解度。在銅和氧的液體中，氧溶解度可以寫成溫度的函數：

X0 = e^(-14550/T + 2.94)

液態銅中氧的擴散可視為半無限介質中的單向擴散，則氧化過程中熔蝕區域單位面積的質量增益ΔM2為：

ΔM2 = 2(ξX0ρ1 - c0)/√π · √(Dt)

式中，ξ = 6.9×10?3為平衡氧濃度的修正因子，ρ1 = 7.785 g/cm3為液態銅密度，c0為初始氧濃度，D = 1×10?? m2/s表示氧在液態銅溶液中的擴散系數。

2.4 相變處理

在電弧作用觸頭期間，觸頭經歷了熔化和汽化的相變。為了處理相變產生的潛熱，本文采用等效比熱容法進行處理：

Cp = CpSS + Lm·Dm + Lv·Dv

其中，Dm = e^(-(T-Tm)2/ΔTm2)/(ΔTm√π)

Dv = e^(-(T-Tb)2/ΔTb2)/(ΔTb√π)

式中，CpSS為材料比熱容，Lm為熔融潛熱，Lv為汽化潛熱，Tm和Tb分別為材料熔點和氣化點，ΔTm和ΔTb分別為融化溫度過渡區和蒸發溫度過渡區。

固相與液相之間的糊狀區域通常采用Kozeny-Carman方程處理。液體體積分數fl定義為：

當T < Tm - ΔT時，fl = 0；

當Tm - ΔT < T < Tm + ΔT時，fl = (T - Tm - ΔT)/(2ΔT)；

當T > Tm + ΔT時，fl = 1。

動量方程中的達西阻尼力的各向同性滲透率K取決于fl，表達式為：

K = -(1-fl)2/(fl3 + b)

其中b為避免被零除的小數。

隨著電弧能量的增大，觸頭表面溫度逐漸提高，先后超過熔點Tm和沸點Tb。銅的熔點和沸點分別為1356 K和2835 K。當T < Tm時，固態銅進行氧化，受熱區有氧質量流入；當Tm < T < Tb時，氧質量流以相對于固相更高的速度進入液態銅；當T > Tb時，蒸發導致質量減少。因此需要對質量的連續性方程增加三個源項，修改為：

?·u = s1 + s2 + s3

三個源項依次對應以上三個溫度范圍的傳質：

s1 = J1·(1/ρi)·δn = d(ΔM1)/dt · (1/ρi)·δn

s2 = J2·(1/ρi)·δn = d(ΔM2)/dt · (1/ρi)·δn

s3 = J3·(1/ρv - 1/ρi)·δn

其中J1、J2、J3分別為固相氧化質量通量、液相氧化質量通量和蒸發除去率，ρi和ρv分別為金屬密度和金屬蒸氣密度，n為從觸頭指向空氣界面的法向量，δ定義為水平集法中的界面函數。將金屬蒸氣視為理想氣體，滿足ρv = p·Mss·NA/(R·T)，其中Mss為銅的原子質量，NA為阿伏伽德羅常數。

δ的表達式為：

δ = 6?φ · (1-φ)φ

J3可以由修正的Langmuir方程估算：

J3 = (1-βR)·ps·√(Mss/(2πkB·T))

式中βR為逆向擴散系數，kB為玻耳茲曼常數，ps為汽化面飽和壓強，可由克勞修斯-克拉伯龍關系求得，其中p0 = 101325 Pa：

ps = p0·exp((Lv·Mss/kB·T)·(T/Tb - 1))

2.5 修正的水平集方程

在電弧侵蝕觸頭的多物理場耦合過程中，滅弧介質與熔融金屬表面的相互作用顯著影響著熔池演化行為。為了更準確地追蹤移動表面，研究者多采用水平集方法構建電弧等離子體與熔池噴濺的相界面追蹤模型。相較于傳統自由界面追蹤方法，該方法能夠捕捉電弧熔蝕中氧質量流流入對界面運動的貢獻，并考慮氧溶解度引發的熔體表面張力變化。

為表述上述氧化和蒸發過程中傳質引起的表面移動，需增加三個源項。修改后的水平集方程和三個源項如下：

?φ/?t + u·?φ + γ?·(φ(1-φ)?φ/?φ

- ε?φ) = -ψ1 - ψ2 + ψ3

其中：

ψ1 = J1·δ·(φ/ρi + (1-φ)/ρa)

ψ2 = J2·δ·(φ/ρi + (1-φ)/ρa)

ψ3 = J3·δ·(φ/ρi + (1-φ)/ρv)

式中ρa為空氣密度，ψ1、ψ2、ψ3分別表示固相氧化引起表面位移源項、液相氧化引起的表面位移源項和蒸發引起的表面位移源項。

在計算區域中，定義一個標量函數來追蹤氣液交界面的運動：氣體取值為1，液體（包括固體、固液混合糊狀區、液相區）取值為0，氣液交界面取值為0.5，φ從0到1平滑過渡。通過求解改進水平集φ的傳遞方程來追蹤氣-液間的運動平面，并通過水平集方程與動量、能量守恒方程和連續性方程之間的相互耦合來計算液滴質量遷移所帶走的觸頭表面的動能和熱能。

2.6 邊界條件和初始值

2.6.1 熱邊界條件

對于自由表面，需要考慮對流、輻射和蒸發引起的熱損失。熱邊界條件為：

k?T = qin - qout = Garc - [h(T-T0) + ωkB(T?-T0?) + Lv·Vv·ρ1]

其中蒸發速率Vv為汽化陣面的后退速度，可以由描述液體表面蒸發物質流的赫茲-努德森方程得到；h為傳熱系數；ω為表面輻射；Garc為弧根處熱源。

作用在觸頭表面的熱通量可以從耦合模型中提取。在觸頭邊緣處，電弧能量經過傳導、對流、輻射等方式會耗散一部分能量，因此熱流幅值隨電弧運動和熱耗散而減小。本文取停滯時間內的累積熱通量作為熔池模型的能量注入，服從高斯分布的熔池等效熱源為：

Garc = qmax(t)·exp(-2x2/ry2)

式中qmax(t)為停滯期間的熱通量，x為熔池位置，ry為弧根半徑，本文取0.06 mm。

將初始溫度T0 = 300 K、k?T = 0應用于其他邊界。該邊界條件方程乘以δ函數視為熱源項加到能量守恒方程的原始形式中，得到修正后的能量方程。

2.6.2 流體動力學邊界條件

在熔蝕的表面，驅動力的法向分量由表面張力和反沖壓力組成，在切向上考慮金屬蒸汽流動引起的馬蘭戈尼效應和剪切應力。流體動力邊界條件F可以表示為：

F = σκn - Precoil·n + (?σ/?T)·(?T/?x)·τ + τw·τ

式中σ為表面張力系數，κ為曲率，蒸汽反沖壓力Precoil = 0.59Ps，n和τ分別為法向和切向的單位矢量。

表面張力受到溫度和氧氣的共同影響。氧氣是空氣中占比第二大的氣體，因此在本文模型中，需要同時考慮溫度和氧濃度對液態銅表面張力的影響。上式等號右側第三項表示由熔蝕表面張力梯度驅動的馬蘭戈尼效應。

在銅氧體系中，表面張力系數是溫度T和氧活度ai的函數，其形式為：

σ = σ0 - A(T-Tm) - RTΓs·ln[1 + k0(ai×100)·e^(-ΔH°/RT)]

式中ai可由ξX0表示，Γs = 1.1×10?? mol/m2為飽和狀態下的表面過剩濃度。

當T ≥ Tb時，由熔池表面形成的火山口內側的金屬蒸氣流引起的剪切應力τw可寫為：

τw = 8ρv·uv2/Re

式中uv為金屬蒸氣沿著熔坑壁面的分量速度，Re是與熔坑形貌相關的雷諾數。

這三種力都應乘以δ函數，作為一般形式的力應用到動量守恒方程的一般形式中。修正后的動量守恒方程可以表示為：

ρ?u/?t + ρ(u·?)u = ?·(-pI + μ(?u + (?u)T)) + ρg + Ku + δF