1 數(shù)值計(jì)算方法

濕顆粒碰撞過(guò)程的直接數(shù)值模擬通過(guò)流體體積模型（volume of fluid，VOF）模型追蹤氣液界面，連續(xù)表面張力模型（continuum surface force，CSF）模型計(jì)算界面的表面張力，兩者共同作用，控制液膜的形變過(guò)程。顆粒運(yùn)動(dòng)則采用六自由度模型（six degrees of freedom，6 DOF）結(jié)合重疊網(wǎng)格技術(shù)進(jìn)行描述，為了模擬顆粒的反彈運(yùn)動(dòng)并提取分析數(shù)據(jù)，本文開(kāi)發(fā)并應(yīng)用了用戶自定義函數(shù)。

1.1 VOF模型

采用VOF模型來(lái)模擬氣液兩相流體的流動(dòng)問(wèn)題，通過(guò)求解體積分?jǐn)?shù)的對(duì)流方程實(shí)現(xiàn)相界面的瞬態(tài)追蹤。在VOF模型中，通過(guò)跟蹤不同相的體積分?jǐn)?shù)來(lái)描述不同相的位置和界面形狀[式(1)]。

?α?t+??(αu)=0(1)

式中，α為液體的體積分?jǐn)?shù)，%，α=1處的網(wǎng)格充滿液體，α=0處的網(wǎng)格充滿氣體，0<α<1的網(wǎng)格區(qū)域含有自由面；t為時(shí)間，s；u為流體的速度矢量，m/s；?為梯度算子。

假設(shè)流體為不可壓縮流體，且氣液兩相的密度保持不變，涉及質(zhì)量與動(dòng)量守恒。

連續(xù)性方程為式(2)。

??u=0(2)

動(dòng)量方程為式(3)。

?(ρu)?t+u??(ρu)=-?p+??[μ?(?u+?uT)]+g+FSV(3)

式中，ρ為流體的局部平均密度，kg/m3；p為流體的壓力，Pa；μ為動(dòng)力黏度，Pa·s；g為流體自身重力，N；FSV為表面張力的等價(jià)體積力，N。

局部平均密度ρ和動(dòng)力黏度μ表達(dá)式為式(4)和式(5)。

ρ=αρl+(1-α)ρg(4)

μ=αμl+(1-α)μg(5)

式中，下角標(biāo)l為液體相；下角標(biāo)g為氣體相。

1.2 連續(xù)表面張力模型

連續(xù)表面張力模型能夠?qū)⒁后w界面上的力轉(zhuǎn)換為周?chē)捏w積內(nèi)連續(xù)分布的力，被廣泛應(yīng)用于液滴流動(dòng)模擬中。界面處表面張力可以表示為式(6)。

Fsf=σκ?φ(6)

式中，F(xiàn)sf為表面張力，N；σ為表面張力系數(shù)；?φ為界面切向的梯度算子；κ為表面曲率。

界面處的單位法向量計(jì)算如式(7)、式(8)。

n=-?φ|?φ|(7)

n=nwcosθ+twcosθ(8)

式中，θ為氣-液界面在壁面處的接觸角，(°)；nw和tw分別為與壁面法向和切向的單位向量。得到界面的曲率為式(9)。

κ=???φ|?φ|(9)

1.3 顆粒運(yùn)動(dòng)模型

控制顆粒運(yùn)動(dòng)位移的方程為式(10)。

dupdt=1mpFp+Fv+Fsf+Fg(10)

式中，F(xiàn)p為壓差阻力，N；Fv為黏性阻力，N；Fg為重力，N；mp為顆粒質(zhì)量，kg；up為顆粒速度，m/s。

為進(jìn)一步分析濕顆粒碰撞過(guò)程中的能量損失，可以將其分為以下四部分：壓差阻力引起的能量損失比Ep、黏性阻力引起的能量損失比Ev、由濕顆粒間非完全彈性碰撞引起的能量損失比Ec、由表面張力引起的動(dòng)能耗損比Esf。并將顆粒1剛接觸液膜時(shí)刻的初始動(dòng)能定義為E0。計(jì)算見(jiàn)式(11)~式(13)。

Ep=(∫h0htFpdh+∫hthmFpdh)/E0Fp=-∫Spiz?ndS(11)

Ev=(∫h0htFvdh+∫hthmFvdh)/E0Fv=μ∫S?uz?ndS(12)

Ec=(12mut2-12mus2)/E0(13)

式中，h0為顆粒1接觸液膜時(shí)質(zhì)心高度，μm；ht為顆粒1與顆粒2碰撞時(shí)質(zhì)心高度，μm；hm為顆粒1碰撞后反彈到最高點(diǎn)的質(zhì)心高度，μm；ut為顆粒1碰撞前的速度，m/s；us為顆粒1碰撞后的速度，m/s。

1.4 重疊網(wǎng)格

本文使用的重疊網(wǎng)格方法廣泛應(yīng)用于模擬移動(dòng)網(wǎng)格的邊界運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。重疊網(wǎng)格技術(shù)的工作原理包括挖孔、重疊最小化和供體搜索。首先，生成互不約束的背景網(wǎng)格和重疊網(wǎng)格，滿足N-S求解器的三階離散化。在求解的迭代過(guò)程中，流場(chǎng)數(shù)據(jù)通過(guò)內(nèi)嵌邊界進(jìn)行傳輸。其次，確定執(zhí)行各自職責(zé)的單元，包括挖孔單元、重疊邊界單元（接收單元）和計(jì)算單元（供體單元）。挖孔單元是指通過(guò)挖掘操作丟棄的一些煩瑣單元。重疊邊界單元主要圍繞挖孔單元，并被視為每個(gè)重疊網(wǎng)格中的邊界。重疊邊界單元與計(jì)算單元之間的關(guān)系通過(guò)插值確定。具體實(shí)現(xiàn)流程如圖1所示。

圖1   重疊網(wǎng)格計(jì)算求解流程